Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan

Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

Kukuh Nasrul Wicaksono – NIM 13505097

Program Studi Teknik Informatika
Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesha 10 Bandung 40132

E-mail : if15097@students.if.itb.ac.id


Abstrak

Seiring dengan perkembangan zaman, maka munculah cabang matematika baru yang disebut dengan
matematika diskrit. Perkembangan yang pesat dari ilmu matematika diskrit ini berkaitan erat dengan
perkembangan pesat dari dunia komputer digital, karena komputer digital bekerja secara diskrit.
Perkembangan matematika diskrit ini juga diikuti dengan perkembangan ilmu lainnya yang memakai
matematika sebagai landasan ilmunya. Salah satunya adalah ilmu kriptrografi yang memakai teori bilangan
bulat sebagai landasan ilmunya. Dalam paparan di bawah ini akan dijelaskan bahwa matematika diskrit
khusunya teori bilangan bulat memiliki hubungan yang sangat erat dengan ilmu kriptografi. Selain itu akan
dijelaskan pula mengenai aplikasi dari ilmu keriptografi ini dalam kehidupan sehari-hari.

Kata kunci : Teori bilangan bulat, kriptografi

1. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita pasti telah
sering menemukan bahwa ilmu pasti, khususnya
Matematika dan berbagai cabang ilmu
Matematika lainnya sangat banyak digunakan
manusia untuk membantu menyelesaikan suatu
masalah. Mulai dari masalah kecil dan
tradisional, hingga masalah besar dan modern.

Seiring dengan perkembangan zaman, maka
munculah cabang matematika baru yang disebut
dengan matematika diskrit. Perkembangan yang
pesat dari ilmu matematika diskrit ini berkaitan
erat dengan perkembangan pesat dari dunia
komputer digital, karena komputer digital
bekerja secara diskrit. Perkembangan
matematika diskrit ini juga diikuti dengan
perkembangan ilmu lainnya yang memakai
matematika diskrit landasan ilmunya. Salah
satunya adalah ilmu kriptrografi yang memakai
teori bilangan bulat sebagai landasan ilmunya.

Kriptografi ini adalah suatu cabang ilmu yang
digunakan untuk menjaga kerahasiaan pesan
dengan cara menyamarkannya dan menjadikan
bentuk sandi yang tidak mempunyai makna.
Apakah manfaat kriptografi ini dalam kehidupan
sehari-hari kita? Dan apa pula hubungan
matematika diskrit khususnya teori bilangan
bulat dengan kriptografi? Dalam tulisan
berikutnya, akan dijelaskan jawaban dari
pertanyaan di atas.


2. Matematika Diskrit dan Teori
Bilangan Bulat

Matematika diskrit adalah cabang matematika
yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang
dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Benda
disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah
berhingga elemen yang berbeda atau elemen-
elemen yang tidak berkesinambungan.
Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang
sebagai objek diskrit. Lawan kata diskrit adalah
kontinyu atau menerus. Himpunan bilangan riil
(real) adalah suatu objek kontinu. Di dalam
matematika kita mengenal fungsi diskrit dan
fungsi kontinu. Fungsi diskrit digambarkan
sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi
kontinu digambarkan sebagai kurva. Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

2

Matematika diskrit berkembang sangat pesat
dalam dekade terakhir ini. Salah satu alasan yang
menyebabkan perkembangan pesat itu adalah
karena komputer digital bekerja secara diskrit.
Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh
komputer adalah dalam bentuk diskrit.

Materi yang ada dalam matematika diskrit adalah
materi yang khas informatika, sehingga
terkadang matematika diskrit ini disebut juga
matematika informatika. Salah satu materi di
dalam matematika diskrit ini adalah teori
bilangan bulat.

Sesuai dengan namanya, teori bilangan bulat
sangat erat hubungannya dengan bilangan bulat.
Bilangan bulat itu sendiri adalah bilangan yang
tidak mempunya pecahan desimal, misalnya
adalah 2, 43, 566, -64, 0 dan sebagainnya. Teori
bilangan bulat dalam matematika diskrit
memberikan penekanan dengan sifat pembagian.
Sifat pembagian pada bilangan bulat melahirkan
konsep-konsep seperti bilangan prima dan
aritmatika modulo. Satu algoritma penting yang
berhubungan dengan sifat pembagian ini adalah
algoritma Euclidean. Baik bilangan prima,
aritmatika modulo, dan algoritma Euclidean
memainkan peran yang penting dalam bidang
ilmu Kriptografi, yaitu ilmu yang mempelajari
kerahasiaan pesan.


2.1. Algoritma Euclidean

Algoritma Euclidean adalah salah satu metode
yang mangkus dalam mencari Pembagi Bersama
Terbesar (greates), disingkat menjadi PBB.
Algoritma ini sudah dikenal sejak berabad-abad
yang lalu. Euclid ,penemu Algoritma Euclidean,
adalah seorang matematikawan yunani yang
menuliskan algoritmanya tersebut dalam
bukunya yang terkanal yang berjudul Element.

Secara formal algoritma Euclidean dirumuskan
sebagai berikut.

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat
tak negatif dengan m ≥ n. Misalkan r0 = m
dan r1 = n , lakukan secara berturut –
turut pembagian seperti dibawah ini.

r0 = r1q1 + r2 0≤ r2 ≤ r1

r1 = r2q2 + r3 0≤ r3 ≤ r2
.
.
.
rn-2 = rn-1 qn-1 + rn 0≤ rn ≤ rn-1

rn-1 = rn qn + 0

Kemudian PBB dari m dan n (PBB(m,n)) adalah
sisa terakhir dari pembagian tersebut.

Singkatnya algoritma Euclidean akan dituliskan
sebagai berikut.

Algoritma Euclidean
1. Jika n = 0 maka
m adalah PBB(m,n);
stop
tetapi jika n ≠ 0 ,
lanjutkan ke langkah 2.
2. Bagilah m dengan n dan misalkan r
adalah sisanya.
3. Gantilah nilai m dengan nilai n dan nilai
n dengan r, lalu ulang kembali ke
langkah 1.

Catatan : jika m ≤ n, maka pertukarkan nilai
m dan n.


2.2. Aritmatika Modulo

Aritmatika modulo (modular arithmethic)
memainkan peran yang penting dalam komputasi
integer, khususnya pada aplikasi kriptografi.
Operator yang digunakan pada aritmatika
modulo adalah mod. Operator mod, jika
digunakan pada pembagian bilangan bulat
meberikan sisa pembagian sebagai kembaliannya.
Sebagai contoh 53 mod 5 meberikan hasil = 10
dan sisa = 3. Maka 53 mod 5 = 3. Definisi dari
operator mod adalah sebagai berikut

Misalkan a adalah bilangan bulat dan m
adalah bilangan bulat > 0. operasi a mod
m memberikan sisa jika a dibagi dengan
m. Dengan kata lain a mod m = r
sedemikian sehingga a = mq + r , dengan
0 ≤ r < 5 =" 3" 5 =" 3,"> 0 maka a ≡ b (mod m)
jika m habis membagi a – b

Sifat-sifat perhitungan pada aritmatika modulo,
khususnya terhadap operasi perkalian dan
penjumlahan, dinyatakan sebagai berikut.

Misalkan m adalah bilangan bulat positif
1. Jika a ≡ b (mod m) dan c adalah
sembarang bilangan bulat maka
i. (a+c) ≡ (b+c) (mod m)
ii. ac ≡ bc (mod m)
iii. a
p
≡ bp
(mod m) untuk p
bilangan bulat > 0
2. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m),
maka
i. (a+c) ≡ (b+d) (mod m)
ii. ac ≡ bd (mod m)


2.2.2. Chinese Remainder Problem

Pada abad pertama, seorang matematikawan
china yang bernama Sun Tse mengajukan
pertanyaan sebagai berikut.

Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila
dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7
menyisakan 5, dan bila dibagi 11
menyisakan 7.

Pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai
berikut

X ≡ 3 (mod 5)
X ≡ 5 (mod 7)
X ≡ 7 (mod 11)

Teorema Chinese Remainder berikut akan
digunakan untuk menyelesaikan sistem di atas

Misalkan m1, m2, …,mn adalah bilangan
bulat positid sedemikian sehingga
PBB(mi,mj) = 1 untuk i ≠ j. Maka sistem
kongruen lanjar

X ≡ ak (mod mk)

Mempunyai sebuah solusi unik untuk
modulo m = m1 . m2 . m3

Solusi akan dicari sebagai berikut. Solusi
modulo tersebut m = 5 . 7 . 11 = 5 . 77 = 11 . 35.
Karena 77 . 3 ≡ 1 (mod 5), 55 . 6 ≡ 1 (mod 7),
dan 35 . 6 ≡ 1 (mod 11), solusi unik dari sistem
kongruen tersebut adalah

X ≡ (3 . 77 . 3 + 5 . 55 . 6 + 7 . 35 . 6) (mod 385)
≡ 3813 (mod 385)
≡ 348 (mod 385)


2.3. Bilangan Prima

Bilangan bulat positif yang mempunya aplikasi
penting dalam ilmu komputer dan matematika
diskrit adalah bilangan prima. Bilangan prima
adalah bilangan bulat positif yang lebih besar
dari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya
sendiri. Secara formal definisi dari bilangan
prima adalah sebagai berikut.

Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut
bilangan prima jika bilangan yang habis
membaginya hanya 1 dan p.

Sebagai contoh adalah bilangan 13. Bilangan 13
hanya habis dibagi 1 dan 13. Maka 13 adalah
bilangan prima.

Bilangan selain prima adalah bilangan komposit.
Misalnya 12 adalah bilangan yang dapat habis
dibagi 1,2,4,6,12.

Teorema penting menyangkut bilangan prima
dinyatakan oleh teorema yang terkenal dalam Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

4
teori bilangan yaitu teorema fundamental
aritmatik, yang berisi sebagai berikut

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar
atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai
perkalian satu atau lebih baik bilangan prima
maupun bilangan komposit, keduanya dapat
dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih
faktor prima. Misalnya,

9 = 3 × 3 (2 buah faktor prima)
100 = 2×2×5×5 (4 buah faktor prima)
13 = 13 (1 buah faktor prima)
12 = 2×2×3 (3 buah faktor prima)


3. Kriptografi

Aritmatika modulo dan bilangan prima
mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu
komputer salah satu aplikasinya yang terpenting
adalah ilmu kriptografi.

Kriptografi (cryptography) berasal dari Bahasa
Yunani: “cryptós” artinya “secret” (rahasia),
sedangkan “gráphein” artinya “writing” (tulisan).
Jadi, kriptografi berarti “secret writing” (tulisan
rahasia). Ada beberapa definisi kriptografi yang
telah dikemukakan di dalam berbagai literatur.
Definisi yang dipakai di dalam buku-buku yang
lama (sebelum tahun 1980-an) menyatakan
bahwa kriptografi adalah ilmu dan seni untuk
menjaga kerahasian pesan dengan cara
menyandikannya ke dalam bentuk yang tidak
dapat dimengerti lagi maknanya. Definisi ini
mungkin cocok pada masa lalu di mana
kriptografi digunakan untuk keamanan
komunikasi penting seperti komunikasi di
kalangan militer, diplomat, dan mata-mata.
Namun saat ini kriptografi lebih dari sekadar
privacy, tetapi juga untuk tujuan data integrity,
authentication, dan non-repudiation.

Definisi yang kita pakai di dalam makalah ini
mengutip definisi yang dikemukakan di dalam
[SCH96]:

Kriptografi adalah ilmu dan seni untuk
menjaga keamanan pesan
(Cryptography is the art and science of
keeping messages secure)



Sebagai pembanding, selain definisi tersebut di
atas, terdapat pula definisi yang dikemukakan di
dalam [MEN96]:

Kriptografi adalah ilmu yang
mempelajari teknik-teknik matematika
yang berhubungan dengan aspek
keamanan informasi seperti kerahasiaan,
integritas data, serta otentikasi

Kata “seni” di dalam definisi di atas berasal dari
fakta sejarah bahwa pada masa-masa awal
sejarah kriptografi, setiap orang mungkin
mempunyai cara yang unik untuk merahasiakan
pesan. Cara-cara unik tersebut mungkin berbeda-
beda pada setiap pelaku kriptografi sehingga
setiap cara menulis pesan rahasia pesan
mempunyai nilai estetika tersendiri sehingga
kriptografi berkembang menjadi sebuah seni
merahasiakan pesan (kata “graphy” di dalam
“cryptography” itu sendiri sudah menyiratkan
sebuah seni). Kita akan melihat contoh-contoh
teknik keriptografi dari zaman dahulu hingga
zaman sekarang sehingga kita dapat mamahami
bahwa kriptografi dapat dipandang sebagai
sebuah seni merahasiakan pesan. Pada
perkembangan selanjutnya, kriptografi
berkembang menjadi sebuah disiplin ilmu sendiri
karena teknik-teknik kriptografi dapat
diformulasikan secara matematik sehingga
menjadi sebuah metode yang formal.

Dalam kriptografi terdapat beberapa istilah
khusus. Pesan yang dirahasiakan dinamakan
plainteks (teks jelas dan dapat dimengerti),
sedangkan pesan hasil penyamaran disebut
chiperteks (teks tersandi). Proses penyamaran
dari plainteks ke chiperteks disebut enkripsi dan
proses pembalikan dari chiperteks ke plainteks
disebut deskripsi. Enkripsi dan deskripsi pada
suatu proses penyamaran pesan memiliki suatu
kunci tersendiri. Dan hanya orang yang berhak
yang mengetahui kunci tersebut. Gambar 1.1
memperlihatkan diagram kedua proses yang
dimaksud.

Enkripsi Plainteks Dekripsi
Cipherteks
Plainteks
Kunci Kunci


Gambar 1.1
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

5
Sebagai contoh, dalam gambar 1.2 sebuah
plainteks (sebelah kanan) disandikan menjadi
chiperteks (sebelah kiri) dengan suatu teknik
kriptografi tersebut.


Gambar 1.2

Chiperteks meskipun sudah tidak bersifat rahasia
lagi, namun isinya sudah tidak jelas dan tidak
dapat dimengerti maksudnya. Hanya orang yang
berhak saja yang dapat mengembalikan pesan
tidak jelas tersebut menjadi pesan semula dengan
menggunakan suatu kunci.

Kriptografi juga dapat dituliskan dalam notasi
matematis. Jika chiperteks dilambangkan dengan
C dan plainteks dilambangkan dengan P, maka
fungsi enkripsi E memetakan P ke C, dapat
ditulis sebagai berikut

E(P) = C

Pada proses kebalikannya yaitu proses deskripsi,
fungsi deskripsi D memetakan C ke P, dapat
ditulis sebagai berikut

D(C) = P

Karena proses enkripsi kemudian deskripsi
mengembalikan pesan ke pesan asal, maka
kesamaan berikut harus benar.

D(E(P)) = P


4. Hubungan Teori Bilangan Bulat
dengan Kriptografi

Seperti yang telah diungkapkan diatas bahwa
kriptografi sangat erat hubungannya dengan
matematika diskrit terutama fungsi dan teori
bilangan bulat yang berisi tentang.

- Integer dan sifat-sifat pembagian
- Algoritma Euclidean
- Aritmetika modulo
- Bilangan prima

Hal yang diungkapkan di atas sangat relevan
karena saat ini kriptografi modern tidak lagi
mendasarkan kekuatan kriptografi pada
algoritmanya. Namun kriptografi saat ini
mendasarkan kekuatan kriptografinya pada kunci.
Sebelum melangkah lebih jauh, alangakah lebih
baiknya jika dijelaskan mengenai kekuatan
kriptrografi berdasarkan algoritma maupun kunci
sebagai berikut.

Algoritma kriptografi atau chipper adalah fungsi
matematika yang digunakan untuk enkripsi dan
deskripsi. Kekeuatan suatu algoritma kriptografi
diukur dari banyaknya kerja yang dibutuhkan
untuk memecahkan data chipperteks menjadi
plainteksnya. Semakin banyak usaha yang
diperlukan, yang berarti semakin banyak waktu
yang dubutuhkan, maka semakin kuat algoritma
kriptografinya, yang berarti semakin aman
digunakan untuk menyandikan pesan.

Jika kekuatan kriptografi ditentukan dengan
menjaga kerahasiaan algoritmanya, maka
algoritma kriptografinya dinamakan algoritma
restricted. Misalkan di dalam sebuah kelompok
orang meraka sepakat untuk menyadikan setiap
pesan-pesan dengan algoritma yang sama,
Algoritmanya adalah mempertukarkan setiap
kata karakter pertama dengan karakter kedua,
karakter ketiga dengan karakter keempat dan
seterusnya. Contohnya,

Plainteks : STRUKTUR DISKRIT
Chiperteks : TSURTKRU IDKSIRT

Untuk mendeskripsikan pesan, algoritma yang
sama digunakan kembali. Sayangnya, algoritma
restricted tidak cocok saat ini. Bila salah seorang
keluar dari kelompok, maka algoritma
penyandian pesan harus diubah lagi karena
kerahasiaannya tidak lagi dapat diandalkan.

Kriptografi modern tidak lagi mendasarkan
kekuatan pada algoritmanya. Jadi algoritma tidak
lagi dirahasiakan dan boleh diketahui oleh umum.
Kekuatan kriptografinya terletak pada kunci,
Ketika saya
berjalan-jalan di
pantai, saya
menemukan banyak
sekali kepiting
yang merangkak
menuju laut.
Mereka adalah
anak-anak
kepiting yang
baru
menetas dari
dalam pasir.
Naluri mereka
mengatakan bahwa
laut adalah
tempat kehidupan
mereka.

Ztâxzp/épêp/qtü
yp{p}
•p}
âpx;
__épêp/|t}t|äzp
}/qp}êpz/étzp{x
/
•xâx
}v_êp}v/|tüp}vz
pz/|t}äyä/{päâ=
/ \
tütz
p_psp{pw/p}pz

}pz/zt•xâx}v/êp

}

v/qpüä_|t}tâpé/

spüx

/sp{p|/•péxü=

/] Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

6

yang berupa dereten karakter atau deretan

bilangan bulat, dijaga kerahasiaannya. Hanya

orang uang mengetahui kunci yang dapat

melakukan enkripsi dan deskripsi. Kunci ini

analog fungsinya dengan password pada sistem

komputer, PIN pada ATM atau kartu kredit.

Bedanya jika password bertujuan untuk otorisasi

akses, maka kunci pada kriptografi digunakan

pada proses enkripsi dan deskripsi.

Kriptografi yang mendasarkan kekuatan pada

kunci sering menggunakan dasar teori bilangan

bulat diatas sebagai dasar algoritma dan juga

kuncinya. Selanjutnaya akan dijelaskan dalam

sub bab berikut ini.

4.1. Caesar Chiper

Teknik kriptografi ini digunakan oleh Julius

Caesar, kaisar Romawi, untuk menyandikan

pesan yang ia kirim kepada gubernurnya. Pada

caesar chiper, tiap huruf disubstitusi dengan

huruf ketiga berikutnya dari susunan alfabet.

Dalam hal ini kuncinya adalah jumlah

pergeseran huruf (yaitu 3).

Plainteks pi :

A B C D E F G H I J K L M N O P

Q R S T U V W X Y Z

Chiperteks ci :

D E F G H I J K L M N O P Q R S

T U V W X Y Z A B C

Dengan mengkodekan setiap huruf alfabet

dengan integer: A = 0, B = 1, … , Z = 25, maka

secara matematis caesar chiper menyandikan

plainteks pi menjadi ci dengan aturan sebagai

berikut

ci = E(pi) = (pi + 3) mod 26

Persoalan di atas dapat digenerik-an sebagai

berikut.

Jika pergeseran huruf sejauh k, maka:

Enkripsi: ci = E(pi) = (pi + k) mod 26

Dekripsi: pi = D(ci) = (ci – k) mod 26

k = kunci rahasia

Untuk 256 karakter ASCII, maka:

Enkripsi: ci = E(pi) = (pi + k) mod 256

Dekripsi: pi = D(ci) = (ci – k) mod 256

k = kunci rahasia

Namun teknik ini memiliki kelemahan yaitu

mudah dipecahkan dengan exhaustive key search

karena jumlah kuncinya sangat sedikit (hanya

ada 26 kunci).

4.2. Vigènere Cipher

Algoritma kriptografi ini dipublikasikan oleh

diplomat (sekaligus seorang kriptologis) Perancis,

Blaise de Vigènere pada abad 16 (tahun 1586).

Vigènere Cipher digunakan oleh Tentara

Konfederasi (Confederate Army) pada Perang

Sipil Amerika (American Civil war).

Vigènere Cipher menggunakan Bujursangkar

Vigènere untuk melakukan enkripsi. Setiap baris

di dalam bujursangkar menyatakan huruf-huruf

cipherteks yang diperoleh dengan Caesar Cipher.

Pada dasarnya teknik yang digunakan hampir

sama dengan Caesar Cipher.

Jika panjang kunci lebih pendek daripada

panjang plainteks, maka kunci diulang secara

periodik. Bila panjang kunci adalah m, maka

periodenya dikatakan m. Berikut ini contoh

penggunaan Vigènere Cipher.

kunci = sony

Plainteks :THIS PLAINTEXT

Kunci :sony sonysonys

Hasil enkripsi seluruhnya adalah sebagai berikut:

Plainteks :THIS PLAINTEXT

Kunci :sony sonysonys

Cipherteks : LVVQ HZNGFHRVL

Pada dasarnya, setiap enkripsi huruf adalah

Caesar cipher dengan kunci yang berbeda-beda.

c(‘T’) = (‘T’ + ‘s’) mod 26 = L

c(‘H’) = (‘H’ + ‘o’) mod 26 = V, dst

Keunggulan dari penggunaan Vignere Cipher

adalah huruf yang sama tidak selalu dienkripsi

menjadi huruf cipheteks yang sama pula

sehingga lebih sukar untuk mengubah cipherteks

menjadi plainteks asal jika tidak mengetahui

kuncinya.Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

7

4.3. RSA (Rivest-Shamir-Adleman)

Algoritma RSA diperkenalkan oleh tiga orang

peneliti dari MIT (Massachussets Institute of

Technology), yaitu Ron Rivest, Adi Shamir, dan

Len Adleman, pada tahun 1976. RSA

mendasarkan proses enkripsi dan deskripsinya

pada konsep bilangan prima dan aritmatika

modulo. Baik kunci enkripsi maupun kunci

deskripsi keduanya merupakan bilangan bulat.

Kunci enkripsi tidak dirahasiakan dan diketahui

umum (sehingga dinamakan juga kunci publik),

namun kunci untuk deskripsi bersifat rahasia.

Kunci deskripsi dibangkitkan oleh beberapa buah

bilangan prima bersama-sama dengan kunci

enkripsi. Untuk menemukan kunci enkripsi,

seseorang harus memfaktorkan suatu bilangan

non proma menjadi faktor primanya.

Kenyataannya, memfaktorkan bilangan non-

prima menjadi faktor primanya bukanlah

pekerjaan yang mudah. Belum ada algoritma

yang efisien yang ditemukan untuk pemfaktoran

itu. Semakin besar bilangan non-primanya tentu

akan semakin sulit menemukan faktor primanya.

Semakin sulit pemfaktorannya, semakin kuat

pula algoritma RSA. Algoritma RSA sebenarnya

sederhana sekali. Secara ringkas, algoritma RSA

adalah sebagai berikut.

Algoritma RSA

1. Pilih dua buah bilangan prima

sembarang, sebut a dan b. Jaga

kerahasiaan a dan b ini.

2. Hitung n = a × b. Besaran n tidak

dirahasiakan.

3. Hitung m = (a – 1) × (b – 1). Sekali m

telah dihitung, a dan b dapat dihapus

untuk mencegah diketahui pihak lain.

4. Pilih sebuah bilangan bulat untuk kunci

publik, sebut namanya e, yang relatif

prima terhadap m.

5. Bangkitkan kunci deskripsi, d, dengan

kekongruenan ed ≡ 1 (mod m). Lakukan

enkripsi terhadap isi pesan dengan

persamaan ci = pi

e

mod n, yang dalam

hal ini pi

adalah blok plainteks, ci adalah

chiperteks yang diperoleh, dan e adalah

kunci enkripsi (kunci publik). Harus

dipenuhi persyaratan bahwa nilai pi

harus terletak dalam himpunan nilai 0, 1,

2, …, n – 1 untuk menjamin hasil

perhitungan tidak berada di luar

himpunan.

6. Proses deskripsi dilakukan dengan

menggunakan persamaan pi = ci

d

mod n,

yang dalam hal ini d adalah kunci

deskripsi.

Pehatikan bahwa dalam langkah 4 kekongruenan

ed ≡ 1 (mod m) sama dengan ed mod m = 1. ed

mod m = 1 ekivalen dengan ed = km + 1

sehingga akan menghasilkan persamaan

d = (1 + km) / e

akan terdapat bilangan bulat k yang

menyebabkan persaman diatas memberikan

bilangan bulat d.

Kekuatan dan Keamanan RSA

Seperti yang telah dikatakan sebelumnya,

kekuatan RSA terletak pada tingkat kesulitan

dalam memfaktorkan bilangan non-prima

menjadi faktor primanya, yang dalam hal ini n =

a × b. Sekali n berhasil difaktorkan menjadi a

dan b maka m = (a – 1) × (b – 1) dapat dihitung.

Selanjutnya, karena kunci enkripsi e diumumkan

(tidak rahasia), maka kunci deskripsi d dapat

dihitung dari persamaan e × d ≡ 1 (mod m). Ini

berarti proses deskripsi dapat dilakukan oleh

orang yang tidak berhak.

Penemu algortima RSA menyarankan nilai a dan

b yang dipakai panjangnya lebih dari 100 digit.

dengan demikian hasil kali n = a × b akan

berukuran lebih dari 200 digit. Bayangkan

berapa besar usaha kerja yang diperlukan untuk

memfaktorkan bilangan bulat 200 digit menjadi

faktor primanya. Menurut Rivest dan kawan-

kawan, usaha untuk mencari faktor bilangan 200

digit membutuhkan waktu komputasi selama 4

milyar tahun. (Dengan asumsi bahwa algoritma

pemfaktoran yang digunakan adalah algoritma

tercepat saat ini dan komputer yang dipakai

mempunyai kecepatan 1 milidetik).

Untunglah algoritma yang paling mangkus untuk

memfaktorkan bilangan yang besar belum

ditemukan. Inilah yang membuat algoritma RSA

tetap dipakai hingga saat ini. Selagi belum

ditemukan algoritma yang mangkus untuk

memfaktorkan bilangan bulat menjadi faktor

primanya, maka algoritma RSA masih

direkomendasikan untuk penyandian pesan.

Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

8

5. Kriptografi Dalam Kehidupan

Sehari-hari

Kehidupan kita saat ini dikelililingi oleh

kriptografi. Kriptografi sudah digunakan dalam

berbagai aplikasi, mulai dari penarikan uang di

ATM, penggunaan kartu kredit, penggunaan

kartu cerdas (smart card), percakapan dengan

telepon genggam, password komputer, televisi,

transaksi e-commerce di internet, sampai pada

pengaktifan peluru kendali dan bom nuklir. Bab

ini membahas secara ringkas penerapan

kriptografi dalam kehidupan sehari-hari.

5.1. Kartu Cerdas (Smart Card)

Salah satu aplikasi yang menggunakan

kriptografi adalah kartu cerdas (smart card).

Kartu cerdas (gambar 1.3) saat ini tumbuh

sangat pesat. Kartu cerdas yang mirip dengan

kartu kredit dapat melayani banyak fungsi, mulai

dari otentikasi sampai penyimpanan data.

Dengan menggunakan kartu cerdas, pengguna

dapat mengakses informasi dari berbagai

peralatan dengan kartu cerdas yang sama.

Gambar 1.3 Sebuah smart card dari Siemens

Kartu cerdas yang paling populer adalah memory

card dan microprocessor card. Memory card

mirip dengan floppy disk, sedangkan

microprocessor card mirip dengan komputer

kecil dengan sistem operasi, sekuriti, dan

penyimpanan data. Kartu cerdas mempunyai

beberapa jenis antarmuka (interface) yang

berbeda. Jenis antarmuka yang umum adalah

contact interface, yang dalam hal ini kartu cerdas

dimasukkan ke dalam alat pembaca (card

reader) dan secara fisik terjadi kontak fisik

antara alat dan kartu (Gambar 1.4).

Gambar 1.4 Pembaca kartu cerdas

Kartu cerdas menyimpan kunci privat, sertifikat

digital, dan informasi lainnya. Kartu cerdas juga

menyimpan nomor kartu kredit dan informasi

kontak personal (no telpon). Sertifikat digital

ditandatangani oleh card issuer (CA) untuk

mensertifikasi kunci publik pemilik kartu.

Penggunaan kartu cerdas dikombinasikan dengan

PIN (Personal Identification Number). Jadi, ada

dua level yang harus dari penggunaan kartu

cerdas, yaitu memiliki kartu cerdas itu sendiri

dan mengetahui PIN yang mengakses informasi

yang disimpan di dalam kartu. Komputer server

mengotentikasi kartu dengan cara mengirimkan

suatu nilai atau string (yang disebut challenge)

ke kartu untuk ditandatangani dengan

menggunakan kunci privat (yang tersimpan di

dalam kartu), lalu tanda-tangan tersebut

diverifikasi oleh mesin dengan menggunakan

kunci publik pemilik kartu. Komputer server

perlu menyimpan kunci publik card issuer untuk

memvalidasi sertifikat digital.

Banyak peralatan mobile yang menggunakan

kartu cerdas untuk otentikasi. Namun kartu

cerdas masih tidak menjamin keamanan secara

total. Jika peralatan mobile hilang atau dicuri,

sertifikat digital dan kunci privat di dalam kartu

cerdas (yang terdapat di dalam peralatan

tersebut) berpotensi diakses oleh pencuri untuk

mengakses informasi rahasia. Telpon seluler

dengan teknologi GSM memiliki kartu cerdas

yang terintegrasi di dalam handphone. Pemilik

handphone memiliki opsi untuk men-set PIN

untuk proteksi tambahan, sehingga jika

handphone hilang atau dicuri, handphone tidak

dapat digunakan tanpa mengetahui PIN tersebut.

Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

9

Kartu cerdas Wireless Identity Module (WIM)

termasuk di dalam Wireless Application Protocol

(WAP). Kartu WIM memproteksi komunikasi

dan transaksi mobile dengan tandatangan digital.

Kartu WIM menyediakan keamanan untuk

sertifikat digital, manajemen kode PIN, kunci,

dan tanda-tangan digital. WIM menyimpan

algoritma enkripsi yang diperlukan di dalam

kartu cerdas. Semua fungsi yang diperlukan

untuk sistem keamanan dan privatisasi

dimasukkan ke dalam kartu cerdas.

5.2. Transaksi Melalui Anjungan

Tunai Mandiri (ATM)

Anjungan Tunai Mandiri atau Automatic Teller

Machine (ATM) digunakan nasabah bank untuk

melakukan transaski perbankan. Utamanya,

kegunaan ATM adalah untuk menarik uang

secara tunai (cash withdrawal), namun saat ini

ATM juga digunakan untuk transfer uang

(pemindahbukuan), mengecek saldo, membayar

tagihan kartu ponsel, membeli tiket kereta api,

dan sebagainya.

Transaksi lewat ATM memerlukan kartu

magnetik (disebut juga kartu ATM) yang terbuat

dari plastik dan kode PIN (Personal Information

Number) yang berasosiasi dengan kartu tersebut.

PIN terdiri dari 4 angka yang harus dijaga

kerahasiannya oleh pemilik kartu ATM, sebab

orang lain yang mengetahui PIN dapat

menggunakan kartu ATM yang dicuri atau

hilang untuk melakukan penarikan uang.

PIN digunakan untuk memverifikasi kartu yang

dimasukkan oleh nasabah di ATM. Proses

verifikasi dilakukan di komputer pusat (host)

bank, oleh karena itu harus ada komunikasi dua

arah antara ATM dan komputer host. ATM

mengirim PIN dan informasi tambahan pada

kartu ke komputer host, host melakukan

verifikasi dengan cara membandingkan PIN yang

di-entry-kan oleh nasabah dengan PIN yang

disimpan di dalam basisdata komputer host,

lalu mengirimkan pesan tanggapan ke ATM yang

menyatakan apakah transaksi dapat dilanjutkan

atau ditolak.

Selama transmisi dari ATM ke komputer host,

PIN harus dilindungi dari penyadapan oleh orang

yang tidak berhak. Bentuk perlindungan yang

dilakukan selama transmisi adalah dengan

mengenkripsikan PIN. Di sisi bank, PIN yang

disimpan di dalam basisdata juga dienkripsi

(lihat Gambar 1.5).

Algoritma enkripsi yang digunakan adalah DES

dengan mode ECB. Karena DES bekerja dengan

mengenkripsikan blok 64-bit, maka PIN yang

hanya terdiri dari 4 angka (32 bit) harus

ditambah dengan padding bits sehingga

panjangnya menjadi 64 bit. Padding bits yang

ditambahkan berbeda-beda untuk setiap PIN,

bergantung pada informasi tambahan pada setiap

kartu ATM-nya [PIN02].

Karena panjang PIN hanya 4 angka, maka

peluang ditebak sangat besar. Seseorang yang

memperoleh kartu ATM curian atau hilang dapat

mencoba semua kemungkinan kode PIN yang

mungkin, sebab hanya ada 10 × 10 × 10 × 10 =

10.000 kemungkinan kode PIN 4- angka. Untuk

mengatasi masalah ini, maka kebanyakan ATM

hanya membolehkan pengentry-an PIN

maksimum 3 kali, jika 3 kali tetap salah maka

ATM akan ‘menelan’ kartu ATM. Masalah ini

juga menunjukkan bahwa kriptografi tidak selalu

dapat menyelesaikan masalah keamanan data.

Gambar 1.5 Mekanisme enkripsi dan deskripsi PIN pada transaksi dengan mesin ATM Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

10

Beberapa jaringan ATM sekarang menggunakan

kartu cerdas sehingga memungkinkan

penggunaan kriptografi kunci publik. Kartu ATM

pengguna mengandung kunci privat dan

sertifikat digital yang ditandatangani oleh card

issuer (CA) untuk mensertifikasi kunci publiknya.

ATM mengotentikasi kartu dengan cara

mengirimkan suatu string ke kartu untuk

ditandatangani dengan menggunakan kunci

privat, lalu tanda-tangan tersebut diverifikasi

oleh ATM dengan menggunakan kunci publik

pemilik kartu. Seperti semua sistem yang

berbasis sertifikat digital, terminal ATM perlu

memiliki salinan kunci publik card issuer

dengan maksud untuk memvalidasi sertifikat

digital. Hal ini direalisasikan dengan

menginstalasi kunci publik tersebut ke dalam

mesin ATM.

5.3. Komunikasi dengan Telepon

Seluler

Penggunaan telepon seluler (ponsel) atau lebih

dieknal dengan nama telepon genggam

(handphone) yang bersifat mobile

memungkinkan orang berkomunikasi dari tempat

mana saja. Telepon seluler bersifat nirkabel

(wireless), sehingga pesan yang dikirim dari

ponsel ditransmisikan melalui gelombang mikro

(microwave) atau radio sampai ia mencapai base

station (BST) terdekat, selanjutnya ditransfer ke

ponsel penerim. GSM merupakan teknologi

telepon seluler yang paling banyak digunakan di

seluruh dunia.

Karena menyadap sinyal radio jauh lebih mudah

daripada menyadap sinyal pada saluran kabel,

maka ini berarti GSM tidak lebih aman daripada

telepon fixed konvensional. Untuk membuat

komunikasi lewat ponsel aman, maka pesan

dienkripsi selama transmisi dari ponsel ke BST

terdekat. Metode enkripsi yang digunakan adalah

metode cipher aliran (stream cipher).

Masalah keamanan lain adalah identitas

penelpon. Operator seluler harus dapat

mengidentifikasi suatu panggilan (call) dan

mengetahui identitas penelpon (apakah penelpon

merupakan pengguna/pelanggan dari operator

seluler tersebut atau pengguna/ pelanggan dari

operator lain).

Jadi, pada GSM diperlukan dua kebutuhan

keamanan lainnya, yaitu:

1. otentikasi penelpon (user

authentication), yang merupakan

kebutuhan bagi sistem,

2. kerahasiaan (confidentiality) pesan (data

atau suara), yang merupakan kebutuhan

bagi pelanggan,

Dua kebutuhan ini dipenuhi dengan penggunaan

kartu cerdas (smart card) personal yang disebut

kartu SIM (Subscriber Identity Module card).

Kartu SIM berisi:

1. identitas pelanggan/pengguna operator

seluler berupa IMSI (International

Mobile Subscriber Identity) yang unik

nilainya,

2. kunci otentikasi rahasia sepanjang 128-

bit yang diketahui hanya oleh operator.

Nilai ini digunakan sebagai kunci pada

protokol otentikasi dengan

menggunakan program enkripsi yang

dipilih oleh operator (algoritma A2, A3,

atau A5),

3. PIN (jika di-set oleh pengguna).

4. Program enkripsi.

Secara keseluruhan, sistem keamanan GSM

terdiri atas dalam 3 komponen, yaitu:

1. kartu SIM,

2. handset (pesawat telepon seluler),

3. jaringan GSM (seperti jaringan ProXL,

Simpati, IM3). Setiap jaringan

dioperasikan oleh operatornya masing-

masing (Excelcomindo, Telkomsel,

Satelindo). Komputer operator (host)

memiliki basisdata yang berisi identitas

(IMSI) dan kunci otentikasi rahasia

semua pelanggan/pengguna GSM.

5.3.1. Otentikasi Penelpon

Otentikasi penelpon dilakukan melalui protokol

otentikasi dengan mekanisme challenge –

response. Ketika pengguna ponsel melakukan

panggilan (call), identitasnya dikirim ke

komputer operator via BST untuk keperluan

otentikasi. Karena BST tidak mengetahui kunci

otentikasi kartu SIM, dan bahkan tidak

mengetahui algoritma otentikasi, maka komputer

operator melakukan verifikasi pengguna dengan

cara mengirimkan suatu nilai acak (128 bit) yang

disebut challenge ke SIM card penelpon. Kartu

SIM mengeluarkan response dengan cara Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

11

mengenkripsi challenge 128-bit tersebut dengan

menggunakan kunci otentikasi yang terdapat di

dalam kartu.

283

Enkripsi terhadap challenge menghasilkan

keluaran 128-bit; dari 128-bit keluaran ini hanya

32 bit yang dikirim dari kartu SIM ke BST

sebagai response. BST meneruskan response ke

komputer operator. Ketika response sampai di

komputer operator, komputer operator

melakukan perhitungan yang sama dengan yang

dilakukan oleh kartu SIM; yang dalam hal ini

komputer mengenkripsi challenge yang dikirim

tadi dengan menggunakan kunci otentikasi

penelpon (ingat, komputer operator mengetahui

kunci otentikasi semua kartu SIM), lalu

membandingkan hasil enkripsi ini (yang diambil

hanya 32 bit) dengan response yang ia terima.

Jika sama, maka otentikasi berhasil, dan

penelpon dapat melakukan percakapan.

Sebagaimana dijelaskan di atas, dari 128-bit hasil

enkripsi, hanya 32 bit yang dikirim sebagai

response. Jadi, masih ada 96 bit sisanya yang

hanya diketahui oleh kartu SIM, BST, dan

komputer operator.

5.3.2. Kerahasiaan Pesan

SIM card juga berisi program stream cipher

(algoritma A5) untuk mengenkripsi pesan dari

ponsel ke BST. Kunci enkripsi panjangnya 64 bit,

yang diambil dari 96 bit sisa dari response SIM

card. Perhatikan bahwa kunci enkripsi 64-bit ini

berbeda setiap kali proses otentikasi dilakukan.

Hal ini memenuhi prinsip algoritma OTP (one-

time pad).

6. Kesimpulan

Dari paparan di atas, kita dapat menyimpulkan

bahwa matematika diskrit khusunya teori

bilangan bulat memiliki hubungan yang sangat

erat dengan ilmu kriptografi seperti yang telah

dijelaskan di atas. Karena dalam dekade terakhir

ini komputer digital yang bekerja secara diskrit

mengalami perkembangan yang sangat pesat,

maka matematika diskrit dan juga kriptrografi

juga mengalami perkembangan yang pesat secara

langsung.

Ilmu kriptrografi yang saat ini erat hubungannya

dengan sistem komputer digital dalam menjaga

keamanan dan privasi data, menjadi banyak kita

temukan dalam kehidupan sehari-hari karena

perkembangan komputer digital itu sendiri.

Boleh dikatakan bahwa kehidupan manusia saat

ini dikelilingi oleh kriptografi dan juga

matematika diskrit. Oleh karena itu, sebagai

manusia yang hidup di zaman modern ini, kita

diharapkan untuk dapat mengembangkan

setidaknya memahami kedua ilmu tersebut. Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

12

Daftar Pustaka

[1] Handbook of Applied Cryptography,

http://www.cacr.math.uwaterloo.ca

/hac/ Diakses tanggal 30 Desember 2006,

pukul 14.05 WIB

[2] Munir, Rinaldi. (2004). Diktat Kuliah IF

2153 Matematika Diskrit, Edisi Keempat.

Departemen Teknik Informatika, Institut

Teknologi Bandung. 2006

[3] Munir, Rinaldi. (2004). Bahan Kuliah

IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik

Informatika, Institut Teknologi Bandung.

UPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIKA SISWA KELAS VII BILINGUAL DI SMP N I GALUR MELALUI STRATEGI BELAJAR MENGGUNAKAN ALAT PERAGA

UPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN
MATEMATIKA SISWA KELAS VII BILINGUAL
DI SMP N I GALUR MELALUI STRATEGI BELAJAR
MENGGUNAKAN ALAT PERAGA

SKRIPSI


Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
untuk memenuhi sebagian persyaratan
guna memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Sains





Oleh
Laili Abdillah
04301241035



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2008

iPERSETUJUAN


UPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN
MATEMATIKA SISWA KELAS VII BILINGUAL DI SMP N I GALUR
MELALUI STRATEGI BELAJAR MENGGUNAKAN ALAT PERAGA



Skripsi ini telah memenuhi persyaratan
dan siap diuji


Disetujui pada tanggal

13 Oktober 2008
------------------------------









Menyetujui
Pembimbing Utama



Dr. Marsigit
NIP. 131268114
Pembimbing Pendamping



Endang Listyani, MS.
NIP. 131569343








iiPENGESAHAN
SKRIPSI

UPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN
MATEMATIKA SISWA KELAS VII BILINGUAL DI SMP N I GALUR
MELALUI STRATEGI BELAJAR MENGGUNAKAN ALAT PERAGA


Disusun oleh:
Laili Abdillah
NIM. 04301241035

Telah Dipertahankan di Depan Tim Penguji Skripsi
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta pada Tanggal 31 Oktober 2008
dan Dinyatakan Telah Memenuhi Syarat Guna Memperoleh
Gelar Sarjana Pendidikan Sains Bidang Matematika

Susunan Tim Penguji:
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua Penguji : Dr. Marsigit
NIP. 131268114

.................... ...............
Sekretaris Penguji : Endang Listyani, MS.
NIP. 131569343

.................... ...............
Penguji Utama : Prof. Dr. Rusgianto H.S.
NIP. 130367428

.................... ...............
Penguji Pendamping : Atmini Dhoruri, MS.
NIP. 131568306

.................... ...............

Yogyakarta, ... November 2008
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Dekan



Dr. Ariswan
NIP. 131791367
iiiPERNYATAAN



Yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Laili Abdillah
NIM : 04301241035
Prodi/Jurdik : Pendidikan Matematika/Pendidkan Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul TAS : Upaya Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematika
Siswa Kelas VII Bilingual di SMP N I Galur Melalui Strategi
Belajar Menggunakan Alat Peraga

Menyatakan bahwa Karya Ilmiah ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan
sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang dipublikasikan atau ditulis
oleh orang lain atau telah digunakan sebagai persyaratan penyelesaian studi di
perguruan tinggi lain kecuali pada bagian tertentu yang saya ambil sebagai acuan.

Apabila ternyata terbukti pernyataan ini tidak benar, sepenuhnya menjadi
tanggung jawab saya.






Yogyakarta, Oktober 2008
Yang menyatakan,




Laili Abdillah
NIM 04301241035












ivMOTTO

Maka nikmat Tuhanmu yang manakah yang kamu dustakan. (Ar Rahmaan: 13)
Pelajarilah oleh kamu ilmu, sebab mempelajari ilmu pengetahuan memberi rasa takut
kepada Allah SWT, menuntutnya merupakan ibadah, mengulang-ulangnya
merupakan tasbih, pembahasannya merupakan jilbab, mengajarkannya kepada
orang yang belum mengetahui merupakan sedekah dan menyerahkannya
merupakan pendekatan kepada Allah SWT. (Rasulullah SAW )
A drop of ink can move a million people to think.
You have to endure caterpillars if you want to see butterflies. (Antoine De Saint)


PERSEMBAHAN

BISMILLAHIRRAHMAANIRRAHIIM,
Dengan kerendahan hati, karya ini aku persembahkan dan aku muliakan:
Umi dan Abi, my best parents in the world yang telah melantunkan do’a di
sepanjang usiaku hingga kini tanpa aku meminta.
Mas Jamil, Anas dan Zahid.
My sisters and brothers at SMARTeam (Mbak Dian, Mas Aga, Mas Hendra,
Rahma, Didi, Rina, Sidiq, Mas Kamal). You’re all my power. Bersama kalian selalu
ada canda dan ilmu. Just loving you. Karenamu mengajarkan aku untuk selalu
mencintai Allah SWT. Kalian adalah anugrah dari‐Nya.
Mbak Zahro tu syita.
Mbak‐mbakku dan adik‐adik @E10 (Mbak Ita, Mbak Septa, Mbak Musy, Mbak
Aul, Mbak Anik, Mbak Dwi, Mbak Gesti, Era, Nurul, Dita).
Teman‐teman ‘PSClub’04 and friend’ (Ita, Phity, Mas Otok’s, Rully Doyk, Panggih,
Andri, Ikhwan, Aziz, Andika). Never give up!
Puji ‘si Pooh’, Bunda, MbakWati’ dan Nisa.
Teman‐teman pengurus HIMATIKA FMIPA UNY, khususnya kepengurusan
periode 2006, yang telah mengajarkanku tentang betapa pentingnya
memanfaatkan kesempatan dalam hidup.


vUPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN
MATEMATIKA SISWA KELAS VII BILINGUAL DI SMP N I GALUR
MELALUI STRATEGI BELAJAR MENGGUNAKAN ALAT PERAGA



Oleh :
Laili Abdillah
NIM. 04301241035

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk meningkatkan kemampuan penalaran
matematika siswa kelas VII bilingual melalui strategi belajar menggunakan alat
peraga di SMP N I Galur.
Penelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas yang terbagi dalam dua
siklus. Setiap siklus tindakan meliputi perencanaan, tindakan, observasi dan
refleksi. Partisipan penelitian adalah siswa kelas VII B SBI SMP N 1 Galur yang
berjumlah 24 siswa dan Guru Matematika kelas VII B SBI SMP N 1 Galur.
Pengambilan data dilakukan dengan observasi selama tindakan pembelajaran di
dalam kelas, angket respons siswa, hasil tes, hasil pekerjaan siswa, wawancara
dan dokumentasi. Teknik analisis yang digunakan meliputi reduksi data,
penyajian data dan penarikan kesimpulan.
Setelah dilakukan pembelajaran menggunakan alat peraga diperoleh
kesimpulan bahwa: a. Pelaksanaan pembelajaran matematika dengan
menggunakan alat peraga guna meningkatkan kemampuan penalaran matematika
dilakukan dengan: (1) Melakukan peragaan menggunakan model garis bilangan.
(2) Melakukan pengamatan menggunakan model garis bilangan untuk
menemukan konsep operasi bilangan bulat. (3) Melakukan pembahasan secara
bersama-sama. (4) Penarikan kesimpulan. b. Setelah dilakukan proses
pembelajaran menggunakan alat peraga, secara keseluruhan menunjukkan bahwa
kemampuan penalaran matematika siswa mengalami peningkatan. Dari
pencapaian aspek-aspek kemampuan penalaran matematika siswa dari data hasil
observasi dan analisis aktivitas student worksheet mencapai kategori tinggi. Hal
ini dapat dijelaskan sebagai berikut: (1) Data hasil angket respons siswa
menunjukkan rata-rata aspek yang diamati sebesar 78.04% dengan kategori tinggi.
(2) Data hasil analisis aktivitas student worksheet menunjukkan rata-rata
persentase ketercapaian aspek kemampuan penalaran matematika mengalami
peningkatan dari siklus I ke siklus II yaitu 81.34% menjadi 91.29% dengan
kategori tinggi. (3) Nilai rata-rata hasil aktivitas student worksheet meningkat dari
siklus I ke siklus II yaitu dari 92.915 menjadi 95. (4) Nilai rata-rata tes kelas
mengalami peningkatan dari siklus I ke siklus II yaitu dari 77.5 menjadi 93.83
dengan kategori tinggi.

viKATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin, syukur kepada Allah SWT yang melimpahkan
rahmat dan kasih sayang-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir
skripsi dengan judul “Upaya Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematika
Siswa Kelas VII Bilingual di SMP N I Galur Melalui Strategi Belajar
Menggunakan Alat Peraga”.
Penulisan skripsi ini dapat terlaksana dengan lancar atas bantuan dan
bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih
kepada :
1. Bapak Dr. Ariswan, selaku Dekan Fakultas MIPA UNY.
2. Bapak Dr. Hartono, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
UNY.
3. Bapak Dr. Marsigit, selaku Pembimbing Utama.
4. Ibu Endang Listyani, MS., selaku Pembimbing Pendamping.
5. Ibu Kana Hidayati, M.Pd, terima kasih atas bimbingannya.
6. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
7. Bapak Edi Suwarno, M.Pd., selaku Kepala SMP N 1 Galur.
8. Ibu Suratmi, S.Pd, selaku Guru Matematika SBI SMP N 1 Galur.
9. Siswa-siswi kelas VII-B SBI SMP N 1 Galur.
10. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak
langsung.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh
karena itu saran dan kritik yang bermanfaat penulis harapkan untuk perbaikan
skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga karya ini dapat bermanfaat.

Yogyakarta, Oktober 2008
Penulis





viiDAFTAR ISI


Halaman
HALAMAN JUDUL........................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN......................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................... iii
HALAMAN PERNYATAAN......................................................................... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................................... v
ABSTRAK....................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ..................................................................................... vii
DAFTAR ISI ................................................................................................... viii
DAFTAR TABEL............................................................................................ x
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xi
DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................... xii

BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1
B. Identifikasi Masalah ............................................................................. 4
C. Pembatasan Masalah ............................................................................ 5
D. Rumusan Masalah ................................................................................ 5
E. Tujuan Penelitian ................................................................................. 6
F. Manfaat Penelitian ............................................................................... 6
BAB II. KAJIAN PUSTAKA ....................................................................... 7
A. Aktivitas Belajar Matematika .............................................................. 7
B. Prinsip Belajar Matematika.................................................................. 10
C. Kemampuan Penalaran Matematika .................................................... 11
1. Inductive Thinking.......................................................................... 12
2. Analogical Thinking....................................................................... 13
3. Deductive Thinking ........................................................................ 14
4. Developmental thinking .............................................................. 14
5. Abstract thinking ........................................................................ 14
viiiHalaman
6. Thinking that generalizes ............................................................ 15
7. Thinking that symbolize .............................................................. 15
8. Thinking that express with numbers, quantifies, and figures…. 15
D. Strategi Belajar Menggunakan Alat Peraga ........................................ 16
E. Alat Peraga dalam Pengajaran Matematika ......................................... 19
F. Sekolah Nasional Bertaraf Internasional............................................... 23
G. Kurikulum Matematika Sekolah Nasional Bertaraf Internasional .... ... 24
H. Penelitian yang Relevan....................................................................... 25
I. Hipotesis Tindakan .............................................................................. 26
BAB III. METODE PENELITIAN.............................................................. 27
A. Jenis Penelitian..................................................................................... 27
B. Desain Penelitian.................................................................................. 27
C. Setting Penelitian ................................................................................. 29
D. Waktu dan Tempat Penelitian .............................................................. 29
E. Sumber Data......................................................................................... 29
F. Instrumen Penelitian dan Teknik Pengumpulan Data.......................... 30
G. Partisipan Penelitian............................................................................. 31
H. Teknik Analisis Data............................................................................ 32
I. Indikator Keberhasilan......................................................................... 36
BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN............................. 37
A. Hasil Penelitian ................................................................................... 37
B. Pembahasan .......................................................................................... 58
BAB V. SIMPULAN DAN SARAN.............................................................. 66
A. Simpulan .............................................................................................. 66
B. Saran..................................................................................................... 68
DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 69
LAMPIRAN.................................................................................................... 71






ixDAFTAR TABEL

Halaman
Tabel 1. Piaget’s Stages of Cognitive Development…........................................... 19
Tabel 2. Kualifikasi Hasil Persentase Skor Angket................................................ 34
Tabel 3. Kualifikasi Nilai Rata-rata Aktivitas Student Worksheet......................... 34
Tabel 4. Kualifikasi Nilai Rata-rata Tes ................................................................ 35
Tabel 5. Hasil Aktivitas Student Worksheet I dan II.............................................. 47
Tabel 6. Hasil Aktivitas Student Worksheet III...................................................... 55
Tabel 7. Hasil Angket Respons Siswa................................................................... 56
Tabel 8. Analisis Hasil Student Worksheet Siklus I dan Siklus II......................... 63
Tabel 9. Nilai Rata-rata Aktivitas Student Worksheet Siklus I dan Siklus II......... 64
















xDAFTAR GAMBAR


Halaman
Gambar 1. Model Garis Bilangan.................................................. 131
Gambar 2. Lokasi penelitian.......................................................... 131
Gambar 3. Siswa menerangkan cara melakukan operasi bilangan
bulat menggunakan model garis bilangan...................

132
Gambar 4. Siswa mengerjakan student worksheet secara
kelompok....................................................................

132
Gambar 5. Siswa menjelaskan hasil diskusi kelompok................. 133
Gambar 6. Siswa mengerjakan kuis.............................................. 133



















xiDAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Lesson plan …………………………………………….. 72
Lampiran 2. Student worksheet………………………………………. 78
Lampiran 3. Exercise sheet…………………………………………… 88
Lampiran 4. Quiz…..…………………………………………………. 90
Lampiran 5. Lembar Observasi………………………………………. 92
Lampiran 6. Hasil Observasi………………….………………………. 94
Lampiran 7. Catatan Lapangan……………………………………….. 110
Lampiran 8. Pedoman Wawancara…………………………………… 116
Lampiran 9. Angket Respons Siswa…..……………………………… 117
Lampiran 10. Analisis Angket Respons Siswa……………………….. 118
Lampiran 11. Analisis Student Worksheet Siklus I dan Siklus II…….. 121
Lampiran 12. Daftar Nilai Aktivitas Student Worksheet……………… 128
Lampiran 13. Daftar Nilai Exercise’Integers Operation’…………….. 129
Lampiran 14. Daftar Nilai Tes’Integers Operation’…………………. 130
Lampiran 15. Dokumentasi penelitian……………………………….. 131
Lampiran 16. Surat ijin penelitian…………........................................ 134


xii

PERAN BIMBINGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA DALAM OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT KELAS IV DI SEKOLAH DASAR

i


PERAN BIMBINGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
DALAM OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT
KELAS IV DI SEKOLAH DASAR


TUGAS AKHIR
Tugas Akhir Ini Disusun Untuk Memenuhi Syarat
Kelulusan Sebagai Tugas Akhir Perkuliahan
Pendidikan Guru Kelas Sekolah Dasar




Disusun oleh :
WIDHY KURNIASARY
1402204540


PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN GURU KELAS SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
TAHUN 2006 ii
HALAMAN PENGESAHAN





Tugas Akhir (TA) dengan judul “Peran Bimbingan Pembelajaran
Matematika Dalam Operasi Hitung Bilangan Bulat Kelas IV Di Sekolah Dasar”,
telah disahkan oleh Kepala UPP Semarang Pendidikan Guru Kelas Sekolah Dasar
Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Negeri semarang pada :


Hari :
Tanggal :



Semarang, September 2006
Mengetahui,
Ketua UPP Semarang Dosen Pembimbing
PGKSD FIP UNNES


Drs Jaino, M.Pd. Dra. Koestantoniah, M.Pd .
NIP. 130875761 NIP. 130530125


iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN


MOTTO :
Belajar dari masalah yang dihadapi membuat lebih dewasa dalam menentukan
sikap.








Tugas Akhir ini dipersembahkan untuk :
1. Orang tua
2. Dosen pembimbing
3. Teman-teman dan semua pihak
yang mendukung penulis




iv
KATA PENGANTAR



Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, dan
karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir
dengan baik.
Penulis berterima kasih kepada :
1. Drs. Siswanto, M. M. , Dekan FIP UNNES.
2. Drs. Sutaryono, M.Pd. Ketua Program Studi PGKSD FIP UNNES.
3. Drs. Jaino, M.Pd. selaku Kepala PGKSD UPP Semarang.
4. Dra. Koestantoniah, M.Pd. sebagai dosen pembimbing yang telah
meluangkan waktu dan pikiran serta perhatiannya guna memberikan
bimbingan dan pengarahan pada PPL I, PPL II dan demi terselesainya
Tugas Akhir ini.
5. Berbagai pihak yang telah membantu penyususnan tugas akhir ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam pembuatan Tugas
Akhir ini. Oleh karena itu, penulis mengharap adanya kritik dan saran dari semua
pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini. Penulis berharap semoga tugas akhir ini
berguna bagi pembaca terutama bagi para calon guru SD.

Semarang, September 2006


Penulis v
DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................. ii
HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN .................................. iii
KATA PENGANTAR ......................................................................... iv
DAFTAR ISI ......................................................................................... v
BAB I. PENDAHULUAN ............................................................... 1
A. Latar Belakang ................................................................. 1
B. Masalah ........................................................................... 2
C. Rumusan Masalah .......................................................... 2
D. Tujuan ............................................................................. 3
E. Manfaat ......................................................................... 3
BAB II. LANDASAN TEORI ......................................................... 4
A. Teori Belajar oleh Thorndike .......................................... 4
B. Hukum Belajar ............................................................ 4
BAB III. PAPARAN HASIL ............................................................... 7
A. Identifikasi ...................................................................... 7
B. Diagnosis ......................................................................... 9
C. Prognosis ......................................................................... 11
D. Evaluasi ........................................................................... 12
BAB IV. PENUTUP ........................................................................... 13
A. Simpulan ........................................................................ 13 vi
B. Saran ............................................................................... 13
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 15 1
BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Pendidikan adalah suatu bimbingan yang diberikan oleh orang
dewasa kepada anak untuk mencapai tujuan yaitu kedewasaan. Dalam
batasan tersebut terdapat beberapa aspek yang berhubungan dengan usaha
pendidikan yaitu bimbingan sebagai suatu proses orang dewasa sebagai
pendidik anak dan tujuan belajar.
Dengan menggunakan istilah bimbingan, secsara filosofis di hayati,
bahwa pendidikan itu merupakan suatu usaha yang disadari dengan
mempertimbangkan segala akibat dari perbuatan-perbuatan mendidik itu.
Dengan menggunakan bimbingan itu pula, pendidikan tidak
dilaksanakan dengan memaksakan kepada si anak sesuatu yang datangnya
dari luar, begitu juga sebaliknya tidak boleh dibiarkan begitu saja si anak
berkembang dengan sendirinya.
Dalam arti luas pendidikan berisi tiga pengertian yaitu, pendidikan,
merupakan kegiatan mengolah otak anak didik, pengajaran, merupakan
kegiatan mengolah otak anak didik, dan pelatihan, merupakan kegiatan
mengolah lidah dan tangan anak didik agar menjadi manusia yang
beriman, cerdas, dan terampil.

2
B. Masalah
Dalam proses pendidikan disekolah, siswa sebagai subyek didik
merupakan pribadi-pribadi yang unik dengan segala karakteristiknya.
Siswa sebagai individu yang dinamis dan berada dalam proses
perkembangan, memiliki kebutuhan dan dinamika dalam interaksinya
dengan lingkungan. Sebagai pribadi yang unik, terdapat perbedaan
individual antara siswa yang satu dengan lainnya. Disamping itu, siswa
sebagai pelajar senantiasa terjadi adanya perubahan tingkah laku sebagai
hasil proses belajar.
Hal tersebut diatas merupakan beberapa aspek psikologis dalam
pendidikan yang bersumber dari siswa sebagai subyek didik, dan dapat
menimbulkan berbagai masalah. Timbulnya masalah-masalah psikologis
menurut adanya upaya pemecahan melalui bimbingan.

C. Rumusan Masalah
Melihat langsung praktik pendidikan di lapangan terdapat beberapa
masalah yang kongkret, yaitu :
ƒ Anak yang tidak mau mendengarkan saat pembelajaran
berlangsung.
ƒ Anak yang hanya ingin bermain-main dalam kelas.
ƒ Anak yang tidak naik kelas karena malas belajar.
Berdasarkan masalah tersebut diatas dapat dikemukakan beberapa
rumusan masalah diantaranya sebagai berikut : 3
1. Bagaimana cara mengatasi kesulitan belajar pada peserta didik
yang bermasalah ?
2. Apakah teori belajar oleh Thorndike dapat mengatasi kesulitan
belajar peserta didik ?
3. Apakah pengaruh bimbingan belajar dalam mengatasi kesulitan
belajar peserta didik ?

D. Tujuan
Tujuan diadakan penelitian dan bimbingan langsung adalah :
1. Mengatasi masalah peserta didik dilapangan.
2. Memberikan bimbingan yang tepat pada siswa yang bermasalah.
3. Mengarahkan anak menjadi lebih baik.
4. Memantau langsung perkembangan anak dan penyimpangan yang
terjadi.

E. Manfaat
Manfaat diadakan bimbingan langsung berdasarkan penelitian dilapangan :
1. Mengetahui secara langsung permasalahan yang terjdi pada anak didik
di lapangan.
2. Sebagai masukan untuk guru dalam melaksanakan pembelajaran
3. Memberikan motivasi kepada pendidik untuk mengembangkan
bimbingan pembelajaran.
4. Sebagai pedoman guru dalam memperhatikan minat belajar siswa. 4
BAB II
LANDASAN TEORI


A. Teori Belajar Koneksionisme oleh Thorndike
Koneksi merupakan asosiasi antara kesan-kesan penginderaan dengan
dorongan untuk bertindak, yakni upaya untuk menggabungkan antara kejadian
penginderan dengan perilaku. Dalam ini Thorndike menitik beratkan pada
aspek fungsional dari perilaku yaitu bahwa proses mental dan perilaku
organisme berkaitan dengan dengan penyesuaian diri terhadap lingkungannya.
Menurut Thorndike, dasar dari belajar adalah Trial and Error,
kemajuan yang diperoleh dalam belajar sedikit demi sedikit dan bukan
berbentuk suatu loncatan. Berdasarkan percobaan yang telah dilakukan,
Thorndike akhirnya mengemukakan 3 macam hukum belajar.

B. Hukum Belajar
a. Hukum Kesiapan ( The Law of Readness )
Agar proses belajar mencapai hasil yang baik, maka diperlukan adanya
kesiapan individu dalam belajar :
1. Apabila individu memiliki kesiapan untuk bertindak dan dapat
melaksanakannya, maka dia akan mengalami kepuasan. 5
2. Apabila individu memiliki kesiapan untuk bertindak/berperilaku
tetapi tidak dapat melaksanakannya, maka dia akan merasa
kecewa.
3. Apabila individu tidak memiliki kesiapan untuk
bertindak/berperilaku dan dipaksa untuk melakukannya maka akan
menimbulkan kedaan yang tidak memuaskan.
b. Hukum Latihan ( The Law of Exercise )
Hubungan atau koneksi anatar stimulus dan respon akan menjadi
kuat apabila sering dilakukan latuhan. Makna menjadi kuat/lemah
menunjukkan terjadinya probabilitas respon yang semakin tinggi apabila
stimulus itu timbul kembali. Oleh karena itu, hukum latihan ini
memerlukan Learning by Doing.
c. Hukum Akibat ( The Law of Effect )
Apabila sesuatu memberikan hasil yang menyenangkan, maka
hubungan antara stimulus dan respon akan menjadi semakin kuat.
Apabila stimulus menimbulkan respon yang membawa reward, maka
hubungan antara stimulis respon akan menjadi semakin kuat, begitu pula
sebaliknya.
Disamping ketiga hukum tersebut, Thorndike mengemukakan hukum
lain yang bersifat sekunder, yakni :
1. Multiple Respon 6
Individu dalam menghadapi masalah akan mencoba berbagai respon
untuk mendapatkan respon yang tepat melalui tindakan yang bersifat
Trial and Error.
2. Set atau Attitude
Kesiapan untuk kecenderungan individu berperilaku tertentu.
3. Assosiative shifting
Setiap respon yang telah dimiliki oleh seseorang dapat dipindahkan
sebagai respon terhadap stimulus yang baru.














7
BAB III
PAPARAN HASIL


A. IDENTIFIKASI
Adapun 3 orang siswa SD yang menjadi sasaran observasi langsung
diperoleh data sebagai berikut :
1. Anak tidak mau mendengarkan pelajaran.
Nama : Ari
Kelas : IV C1
SD : Koalisi Nasional Ngaliyan 01, 03,
07
Hobby : Sepak bola dan main PS
Jenis kelamain : laki-laki
Cita-cita : Arsitek
Prestasi : peringkat kelas ke 36
Pejaran yang disukai : PKPS
Pelajaran yang tidak disukai : matematika
2. Anak yang hanya ingin bermain-main di kelas
Nama : Noval
Kelas : IV C1
SD : Koalisi Nasional Ngaliyan 01, 03,
07 8
Hobby : Menggambar
Jenis kelamain : laki-laki
Cita-cita : Pilot
Prestasi : peringkat kelas ke 39
Pejaran yang disukai : kerajinan tangan dan kesenian
Pelajaran yang tidak disukai : matematika
3. Anak yang tinggal di kelas karena malas belajar
Nama : Andi
Kelas : IV C1
SD : Koalisi Nasional Ngaliyan 01, 03,
07
Hobby : Olahraga
Jenis kelamain : laki-laki
Cita-cita : Atlet bulu tangkis
Prestasi : peringkat kelas ke 42
Pejaran yang disukai : penjaskes
Pelajaran yang tidak disukai : matematika
Nama yang tertera dalam data diatas diambil sebagai nama samaran
dengan data yang konkrit.
Dalam hal tersebut tiga anak yang diambil sebagai sampel memerlukan
bimbingan khusus dalam pembelajaran matematika pada pokok bahasan
operasi hitung bilangan bulat.
9
B. DIAGNOSIS
1. Hubungan intelegensi dan tingkah laku
Orang yang mempunyai intelegensi tinggi adalah orang yang memiliki
dan dapat menggunakan intelegensi/kognisinya dengan baik. Sehubungan
dengan hal tersebut orang yang mempunyai intelegensi tinggi diharapkan
dapat menampilkan tingkah laku intelegensi yang tercermin dari cara
berfikir yang logis, cepat, mempunyai kemampuan abstraksi yang baik,
mampu mendeteksi, menafsirkan, menyimpulkan, mengevaluasi dan
mengaingat, menyelesaikan masalah dengan baik, bertindak terarah sesuai
dengan tujuan, dapat menyesuaikan dengan tuntutan lingkungan yang
baru.
Apabila dikaitkan dengan prestasi belajar, maka intelegensi merupakan
salah satu faktor yang menentukan prestasi belum dapat dinyatakan secara
konklusif/pasti. Beberapa temuan tidak secara konsisten memperlihatkan
korelasi yang signifikan. Hal ini mengisyaratkan bahwa pada situasi
tertentu memang prestasi belajar ditentukan oleh faktor intelegensi, namu
masih banyak faktor lain yang juga ikut berperan.
Individu ber-IQ tinggi bisa gagal dalam bidang akademis, karir, atau
kehidupan sosialnya, karena IQ hanya menggali kemampuan dasar logika
bahasa, matematika atau hanya mengukur sebagian kecil kemampuan
manusia. Tantangan dan permasalahan sehari-hari tidak cukup diatasi
dengan kemampuan logika, perlu kecerdasan emosi untuk mengenali,
mengontrol diri agar dapat berespon positif terhadap situasi. 10
2. Karakteristik perkembangan intelek
Individu mempunyai karakteristik utama untuk dapat mencapai
logika :
a. Individu mampu berfikir nyata
b. Individu mampu melakukan pemecahan masalah yang dihadapi
c. Individu mulai mampu mengerti perasaan orang lain
d. Individu mulai mampu menyadari dan memperhatikan lingkungan
serta mampu beradaptasi
3. Faktor-faktor yang mempengaruhi perkembangan intelek
a. Faktor bawaan (hereditas)
Sejak terjadinya konsepsi individu telah membawa gen-gen yang
berasal dari ayah dan ibunya. Sebagian dari gen tersebut memiliki
sifat-sifat yang akan menentukan daya kerja intelektualnya. Jadi,
secara potensial individu telah membawa kemungkinan apakah ia akan
mempunyai kemampuan normal atau tidak. Potensi ini akan
berkembang atau terwujud secara optimal apabila lingkungan memberi
kesempatan untuk berkembang.
b. Faktor lingkungan
ƒ Keluarga
Merupakan sumber pengalaman dan informasi. Disamping itu
keluarga juga menjadi tumpuan anak untuk dapat memuaskan
segala kebutuhan fisik dan psikis.
11
ƒ Sekolah
Merupakan lembaga formal yang memberi tanggungjawab untuk
meningkatkan perkembangan anak, termasuk perkembangan
intelektualnya. Adanya perbedaan individu dapat dilihat dalam
kemampuan menyerap pelajaran, sikap dalam belajar,
keterampilan belajar, proses belajar, dan hasil belajar yang
dicapai.

C. PROGNOSIS
Berdasarkan landasan teori yang dikemukakan oleh Thorndike, dapat
diperoleh hasil :
1). Siswa yang tidak mau mendengarkan pelajaran
Stimulus yang diberikan oleh guru berupa latihan dengan titik fokus
pada anak tersebut secara berulang-ulang dengan memberikan tugas
secara klasikal dan anak tersebut mengerjakan didepan kelas, dalam
keadaan siap. Hasil memuaskan dapat diperoleh dengan reward pujian
dari guru dapat menghasilkan respon lebih baik dari anak tersebut,
hukum Thorndike dalam menangani anak tersebut dapat dilihat
BERHASIL.
2). Siswa yang hanya ingin bermain dikelas
Guru membuat pembelajaran matematika sebagai arena bermain dengan
melibatkan operasi hitung penjumlahan menggunakan benda konkrit
sebagai bahan penjumlahan dan pengurangan guru mencoba berbagai 12
cara untuk melakukan penghitungan secara klasikal hingga akhirnya
anak tersebut mampu melakukan operasi hitung secara teori, dalam hal
ini hukum akibat dari Thorndike mampu menangani anak tersebut dan
dinyatakan BERHASIL.
3). Siswa yang tidak naik kelas karena malas belajar
Learning by doing yang dilakukan oleh siswa secara klasikal dapat
menghasilkan respon yang positif bagi perkembangan dalam
pembelajaran matematika, untuk operasi penghitungan bilangan bulat
diadakan stimulus berupa pengadaan kuis untuk mencari jawaban cepat
secara berlomba, reward diberikan kepada pemenang lomba berupa
benda konkrit, secara klasikal cara terebut berhasil, namun bagi si anak
cara terebut kurang tepat, cara latihan juga tidak berhasil, maka hukum
belajar Thorndike untuk mengatasi anak terebut TIDAK BERHASIL.

D. EVALUASI
Bimbingan pada ketiga anak tersebut dilakukan selama dua minggu
dengan metode dan stimulus yang berbeda. Hasil yang diperoleh pada siswa
(1) dan (2) lebih baik dari sebelumnya, teori belajar yang dikemukakan oleh
Thorndike dapat dikatakan berhasil dan terbukti, namun untuk siswa (3)
membutuhkan teori belajar yang lain agar dapat mencapai hasil yang
memuaskan karena dapat dikatakan siswa (3) mengalami masalah dalam
perkembangan psikologisnya.
13
BAB V
PENUTUP

A. Kesimpulan
Dari data yang berhasil dikumpulkan, dapat diambil simpulan :
1. tidak semua teori bimbingan dalam belajar dapat berhasil terutama
dalam pembelajaran matematika.
2. Kesiapan individu dalam belajar dapat dilihat dari hasil belajar siswa.
3. Setiap individu dalam belajar memerlukan sstimulus yang berbeda
tergantung dari kemampuan dan responnya.
4. Teori koneksionisme adalah gabungan antara kejadian penginderaan
dengan perilaku.
5. Belajar lebih bersifat trial and error.

B. Saran
Berdasarkan simpulan diatas terdapat beberapa saran :
1. Sebaiknya dalam melakukan bimbingan pembelajaran matematika
tidak terfokus pada satu kegiatan (kegiatan pembelajaran bervariasi).
2. Guru perlu memantau hasil belajar siswa setiap hari.
3. Hendaknya guru selalu melakukan stimulus yang berbeda pada setiap
pembelajaran matematika.
4. Teori koneksionalisme sangat tepat untuk pembelajaran matematika
yang memerlukan banyak latihan. 14
5. Sebaiknya dalam belajar matematika digunakan percobaan dan
latihan (learning by doing).




















15
DAFTAR PUSTAKA

ƒ Anni, Catharina Tri. 2004. Psikologi belajar. Semarang : UPT
UNNES Press.
ƒ Mugiarso, Heru. 2004. Bimbingan dan Konseling. Semarang : UPT
UNNES Press.
ƒ Munib, Achmad. 2004. Pengantar Ilmu Pendidikan. Semarang :
UPT UNNES Press.
ƒ Soeparwoto, 2004. Psikologi Perkembangan. Semarang : UPT
UNNES Press.
ƒ Sugandi, Achmad. 2004. Teori Pembelajaran. Semarang : UPT
UNNES Press.

MENINGKATKAN PRESTASI BELAJAR SISWA TENTANG OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT MENGGUNAKAN TEORI BRUNER

i





MENINGKATKAN PRESTASI BELAJAR SISWA
TENTANG OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT
MENGGUNAKAN TEORI BRUNER

Disusun sebagai salah satu syarat kelulusan
Program Diploma II Pendidikan Guru Kelas Sekolah Dasar
Universitas Negeri Semarang



Oleh:
Novita Eka P.
1402204378

PENDIDIKAN GURU KELAS SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2006 ii
HALAMAN PENGESAHAN

Laporan tugas akhir mengenai bimbingan belajar bagi anak yang mengalami
kesulitan belajar ini, telah disahkan pada:

Hari :
Tanggal :

Mengetahui,
Kepala UPP D-2 PGSD Dosen Pembimbing


Drs. Jaino, M. Pd Dra. Wahyuningsih, M. Pd
NIP. 13087576 NIP. 130










iii
MOTTO

1. Jadilah manusia yang senantiasa bermanfaat bagi orang lain.
2. Di balik setiap musibah pasti ada hikmah.
3. Kegagalan adalah awal dari keberhasilan.
4. Ketidakjujuran adalah awal dari suatu kehancuran.
5. Jadilah manusia yang senantiasa bisa hidup baik dengan maupun tanpa orang
lain.
6. Berusahalah untuk selalu menjadi yang terbaik meskipun “no body perfect”.
7. Jikalau kita melakukan sesuatu terasa berat, itu tandanya kita tidak ikhlas.
8. Orang yang dapat menikmati hidup adalah orang yang senantiasa bersyukur
dan berlapang hati.
9. Sejukkan hati dan pikiranmu dengan senantiasa mengingat Allah.









iv
KATA PENGANTAR

Puji syukur saya ucapkan kepada kehadirat Tuhan YME, karena atas
limpahan rahmat dan hidayah-Nya saya dapat menyelesaikan laporan ini, sebagai
persyaratan untuk memenuhi tugas akhir ini.
Saya menyadari bahwa dalam penyusunan laporan ini, tidak lepas dari
bantuan banyak pihak. Baik secara langsung maupun secara tidak langsung. Oleh
karena itu, pada kesempatan ini saya ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada:
1. Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Dekan FIP Universitas Negeri Semarang.
3. Ketua Program D-2 PGKSD Universitas Negeri Semarang, Drs. Sutaryono,
M. Pd.
4. Kepala UPP D-2 PGKSD Universitas Negeri Semarang, Drs. Jaino, M. Pd.
5. Dosen pembimbing, Dra. Wahyuningsih, M. Pd.
6. Ketua pelaksana PPL 2, Drs. Aris Mujiono, M. Pd.
7. Kepala SD Koalisi Nasional Ngaliyan 01, 03, 07, Sutini, S. Pd.
8. Rekan-rekan yang telah membantu tersusunnya laporan ini.

Akhir kata saya mohon maaf yang sebesar-besarnya atas kekurangan yang
ada pada laporan ini, karena keterbatasan pengetahuan yang saya miliki. Semoga
dengan adanya kekurangan ini dapat memberikan kritik dan saran yang dapat v
membangun demi sempurnanya laporan ini. Semoga laporan ini dapat bermanfaat
bagi para pembaca pada umumnya dan penyusun pada khususnya.

Semarang, September 2006
Penyusun,

Novita Eka P
NIM. 1402204378















vi
PERSEMBAHAN

Laporan ini saya persembahkan kepada:
1. Bapak Muryanto dan Ibu Sukorini tercinta, selaku kedua orang tua saya yang
tidak henti-hentinya memanjatkan do’a, memberikan curahan kasih sayang,
perhatian, semangat, dorongan, nasehat dan bimbingan serta membiayai
pendidikan saya mulai dari SD sampai perguruan tinggi sebagai bekal masa
depan saya.
2. Bapak dan ibu “NANDA KOST” yang telah memberikan kasih sayang dan
perhatian selama saya kost.
3. Bapak dan ibu “INUX KOST” yang telah memberikan tempat tinggal,
bimbingan dan bantuan dan menjaga saya seperti anak sendiri.
4. Bapak dan ibu “SYIAM” yang telah memberikan kepercayaan kepada saya
untuk membimbing belajar Dik Kiki.
5. Saudaraku yang sangat aku sayangi, adikku (Devy dan Olan) yang telah
memberikan semangat dan dorongan saya untuk menjadi yang lebih baik.
6. Keluarga besar baik dari bapak maupun ibu yang senantiasa memberikan
nasehat, bantuan, semangat dan dorongan demi tercapainya cita-cita saya.
7. Teman-teman “BOYO KOST” (mbok dhe, yan-che, nee-are, m’ul, dek is-me,
m’dee-yah, nani, titik, mpok onah dan tak lupa temanku yang paling kecil
tapi sudah tua, ha … rin), yang telah memberikan warna dalam setiap hari-
hariku, maaf jika aku sering merepotkan. vii
8. Special friend (412133) yang sangat-sangat berperan dalam kehidupanku,
kasih sayang, perhatian, nasehat, dorongan dan senyumanmu. Tak bisa
kubayangkan jika aku harus hidup tanpamu.
9. Teman-teman “SENDU KOST” (nila, lia, utami, suud, si pithuk, yeni dan
fais) yang memberikan keceriaan dalam setiap hari-hariku.
10. Buat Mr. Gep, Mas Pieter, Pak Bean beserta Djayeng, Mr. Dot, dan semua
warga “PAK WARSONO KOST” terima kasih atas segala bantuan, semangat,
dan semuanya.
11. Semua teman PPL dari SD Koalisi Nasional Ngaliyan 01, 03, 07 yang telah
membantu menyelesaikan tugas dan masalah selama PPL.












viii
DAFTAR ISI

Halaman
Halaman judul …………………………………………………………………. i
Halaman pengesahan…………………………………………………………… ii
Halaman motto…………………………………………………………………. iii
Kata pengantar…………………………………………………………………. iv
Halaman persembahan…………………………………………………………. vi
Daftar isi………………………………………………………………………... viii
BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………… 1
a. Latar belakang masalah………………………………………………… 1
b. Permasalahan…………………………………………………………… 2
c. Rumusan masalah………………………………………………………. 2
d. Tujuan…………………………………………………………………... 3
e. Manfaat…………………………………………………………………. 3
BAB II LANDASAN TEORI…………………………………………………… 4
a. Belajar…………………………………………………………………… 4
b. Matematika……………………………………………………………… 5
c. Teori belajar mengajar matematika……………………………………… 6
d. Bilangan bulat…………………………………………………………… 7
BAB III PAPARAN HASIL…………………………………………………….. 9
a. Perencanaan……………………………………………………………… 9
b. Pelaksanaan……………………………………………………………… 9 ix
c. Hasil……………………………………………………………………. 14
BAB IV PENUTUP……………………………………………………………. 16
a. Kesimpulan…………………………………………………………….. 16
b. Saran……………………………………………………………………. 17
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………… 18














1
BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang diajarkan pada setiap
jenjang pendidikan. Matematika adalah suatu bidang ilmu yang melatih
penalaran supaya berpikir logis dan sistematis dalam menyelesaikan masalah dan
membuat keputusan. Mempelajarinya memerlukan cara tersendiri karena
matematika pun bersifat khas yaitu abstrak, konsisten, hierarki, berpikir deduktif
(Herman Hudojo, 1988: 3). Sementara itu siswa dalam suatu kelas mempunyai
karakteristik yang beragam, seperti kemampuan kognitif, kondisi sosial ekonomi,
dan minat terhadap matematika. Untuk siswa SD, menurut Piaget masih berada
pada masa operasional konkret yaitu dalam mempelajari materi yang bersifat
abstrak harus diawali dengan materi yang konkret. Dengan mengetahui kekhasan
matematika dan karakteristik siswa, dapat diupayakan cara-cara yang sesuai
dengan pembelajarannya sehingga tujuan pembelajaran dapat tercapai, baik dari
segi kognitif, efektif, maupun psikomotorik.
Peranan seorang guru sangat penting dalam hal ini. Guru harus bisa
menciptakan pembelajaran yang menarik dan dapat dipahami siswa dengan baik
sehingga mtkmjd mata pelajaran yang diminati dan dikuasai oleh siswa. Seorang
guru juga perlu memberikan bimbingan belajar terhadap siswa baik yang
“berkekurangan” maupun yang “berkelebihan”. Akan tetapi tidak semua guru
memperhatikan hal ini. 2
Dari hasil penelitian selama PPL II di SD Koalisi Nasional Ngaliyan 01,
03, 07 hasil belajar matematika pada pokok bahasan Operasi Hitung Bilangan
Bulat kelas V, ada beberapa siswa yang nilainya selalu kurang dari teman-
temannya. Penyebabnya ada 2 kemungkinan yaitu kurangnya minat belajar siswa
dan kurangnya pemahaman konsep yang dikuasai anak. Oleh karena itu, kita
sebagai guru berperan sebagai motivator, komunikator, dan fasilitator dalam
pencapaian hasil belajar siswa.

B. Permasalahan
Bertolak dari latar belakang di atas, maka seorang guru perlu memberikan
bimbingan yang meliputi:
1. Bagaimana cara menumbuhkan minat belajar siswa dalam mata pelajaran
matematika terutama dalam Operasi Hitung Bilangan Bulat?
2. Bagaimana penanaman konsep yang benar, efektif, dan mengena pada pokok
bahasan Operasi Hitung Bilangan Bulat?

C. Rumusan Masalah
Dari uraian pada latar belakang masalah dan permasalahan di atas,
sebagai prarefleksi rumusan masalah adalah sebagai berikut: “Apakah dengan
penerapan bimbingan belajar terhadap siswa dapat menumbuhkan minat belajar
siswa dan meningkatkan hasil belajar siswa pada mata pelajaran matematika
terutama dalam Operasi Hitung Bilangan Bulat di kelas V?”
3
D. Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menumbuhkan minat belajar siswa dalam matematika terutama dalam
Operasi Hitung Bilangan Bulat.
2. Meningkatkan hasil belajar matematika dalam Operasi Hitung Bilangan Bulat
kelas V SD Koalisi Nasional 01, 03, 07 melalui penerapan bimbingan belajar
pada siswa.
E. Manfaat
Manfaat yang diharapkan dari tugas akhir ini adalah:
1. Bagi Siswa
Menumbuhkan semangat belajar siswa dan memperbaiki konsep
pemahaman siswa dalam Operasi Hitung Bilangan Bulat.
2. Bagi Guru
Sebagai masukan bagi guru bahwa bimbingan belajar sangat berperan
penting bagi perkembangan belajar anak.
3. Bagi Sekolah
Sebagai masukan kepala sekolah dalam rangka meningkatkan kualitas
pembelajaran matematika.




4
BAB II
LANDASAN TEORI

A. Belajar
a. Pengertian Belajar
Menurut pengertian secara psikologis, belajar merupakan suatu proses
perubahan yaitu perubahan tingkah laku sebagai hasil dari interaksi dengan
lingkungannya dalam memenuhi kebutuhan hidupnya. Perubahan-perubahan
tersebut akan nyata dalam seluruh aspek tingkah laku. Pengertian belajar
dapat terdefinisikan sebagai suatu proses usaha yang dilakukan seseorang
untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara
keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan
lingkungannya (Slameto, 2003.)
b. Pembelajaran
Pembelajaran adalah upaya untuk menciptakan iklim dan pelayanan
terhadap kemampuan, potensi, minat, bakat, dan kebutuhan peserta yang
beragam agar terjadi interaksi optimal antara guru dengan siswa serta siswa
dengan siswa (Amin Suyitno, 2004).
c. Hasil Belajar
Hasil belajar adalah sesuatu yang dicapai oleh siswa setelah mengikuti
suatu kegiatan pembelajaran, di mana tingkat keberhasilan tersebut kemudian
ditandai dengan skala nilai berupa huruf atau simbol (Dimyati, 2002: 200).
d. Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Hasil Belajar 5
Hasil belajar siswa dapat dipengaruhi oleh faktor-faktor yang berasal
dari dalam dan luar diri siswa. Faktor yang berasal dari dalam dapat berupa
bakat, minat, dan semangat belajar. Sedangkan faktor yang berasal dari luar
dapat berupa motivasi dan stimulasi dalam belajar.

B. Matematika
Menurut Moeliono (Amin Suyitno, dkk, 2001), matematika diartikan
sebagai ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan dan prosedur
operasional yang digunakan dalam usaha meningkatkan hasil belajar siswa.
Untuk mengajarkan matematika di SD, guru perlu mengetahui dan
mengerti tentang prinsip-prinsip pengajarannya. Prinsip-prinsip itu adalah
sebagai berikut:
a. Pembelajaran dimulai dari yang sederhana menuju ke yang kompleks.
b. Pembelajaran dimulai dari yang mudah ke yang sukar.
c. Pembelajaran dimulai dari yang konkret ke abstrak (Depdikbud Dirjen Dikti,
1994: 58).
Masalah utama dalam pembelajaran matematika adalah upaya
meningkatkan efektivitas proses pembelajaran yang berpangkal pada rendahnya
hasil belajar yang dicapai siswa. Pengembangan metode atau teknik
pembelajaran serta pemberian layanan bimbingan belajar merupakan alternatif
dalam usaha meningkatkan hasil beljar siswa.

6
C. Teori Belajar Mengajar dalam Matematika,
Diantaranya dijelaskan oleh beberapa tokoh berikut ini:
1. Menurut Piaget, perkembangan belajar anak SD melalui 4 tahap, yaitu
konkret, semi konkret, semi abstrak, dan abstrak.
2. Menurut Bruner, perkembangan belajar anak melalui 3 tahap, yaitu enaktif,
ikonik, dan simbolik.
3. Menurut Bruner, ada empat dalil dalam belajar matematika, yaitu dalil
penyusunan, dalil notasi, dalil pengkontrasan dan keanekaragaman, serta dalil
pengaitan.
4. Menurut Dienes, objek-objek konkret dalam bentuk permainan mempunyai
peranan sangat penting dalam pembelajaran matematika jika dimanipulasi
dengan baik.
5. Ada 6 tahap belajar menurut Dienes, yaitu:
▪ Permainan bebas
▪ Permainan yang disertai aturan
▪ Permainan kesamaan sifat
▪ Representasi
▪ Simbolisasi
▪ Formalisasi
6. Menurut Skemp, belajar matematika melalui dua tahap. Tahap pertama
adalah tahap konkret, dan tahap kedua adalah tahap abstrak. 7
7. Menurut Brownell, belajar merupakan suatu proses yang bermakna, dan
belajar matematika harus merupakan belajar bermakna dan pengertian. Drill
perlu diberikan juga sesudah anak memahami konsep.
8. Menurut Skinner, ganjaran atau penguatan mempunyai peranan yang amat
penting di dalam proses belajar.
9. Menurut Thorndike, belajar akan lebih berhasil jika respon anak terhadap
suatu stimulus segera diikuti dengan rasa senang dan kepuasan.
10. Menurut Van Hiele dalam belajar geometri, anak melalui 5 tahapan, yaitu:
▪ Tahap pengenalan
▪ Tahap analisis
▪ Tahap pengurutan
▪ Deduksi
▪ Akurasi
11. Penerapan teori-teori belajar mengajar pada pembelajaran matematika tidak
berdiri sendiri-sendiri, tetapi perlu dikombinasikan menurut kebutuhan.

D. Bilangan Bulat
Menurut Karim, dkk (1996: 179) bilangan bulat diciptakan untuk
menjawab masalah seperti 3 + n = 0, 7 + n = 5 karena tidak ada bil cacah yang
memenuhi sehingga pernyataan tersebut menjadi benar. Hal ini menunjukkan
pengetahuan tentang bilangan cacah saja belum cukup untuk memecahkan
masalah. Karena itu manusia membutuhkan pengetahuan yang lebih untuk dapat
menyelesaikan permasalahan di atas yaitu dengan bilangan bulat. 8
Menurut Karim, dkk (1997: 180) gabungan semua bilangan cacah dan
himpunan semua bilangan bulat negatif, yaitu himpunan {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4, 5} disebut himpunan bilangan bulat.



















9
BAB III
PAPARAN HASIL

A. Perencanaan
a. Mata Pelajaran : Matematika
b. Kelas/Semester : V/1
c. Alokasi Waktu : 3 x 20 menit
d. Standar Kompetensi : Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan
pecahan, serta menggunakannya dalam pemecahan
masalah
e. Kompetensi Dasar : Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan
menggunakannya dalam pemecahan masalah
f. Hasil Belajar : Melakukan operasi hitung campuran bilangan bulat
g. Indikasi : Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat
h. Materi Pokok : Operasi hitung bilangan bulat

B. Pelaksanaan
Skenario pembelajaran:
Guru : Selamat pagi anak-anak?
Siswa : Selamat pagi bu.
Guru : Bagaimana kabarnya hari ini?
Siswa : Baik bu. 10
Guru : Nah, pada kesempatan ini, ibu akan memberikan
penjelasan/bimbingan kepada kalian semua tentang operasi hitung
bilangan bulat secara lengkap sampai kalian semua jelas.
Siswa : Ya, bu.
Guru : Pinter.
Sekarang akan ibu jelaskan terlebih dahulu tentang materinya. Anak-
anak dalam mempelajari operasi hitung bilangan bulat kita dapat
menggunakan teori Bruner contohnya bisa dengan menggunakan
permainan 2 warna.
Kegiatan permainan dua warna digunakan untuk membantu anak
memahami penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Untuk memainkan
kegiatan ini anak harus sudah memahami sifat infers jumlah, yaitu jumlah
bilangan bulat dengan lawannya hasilnya 0 (nol). Jadi anak memahami bahwa 1
+ (-1) = 0.
Alat permainan
a. Peralatan permainan


Gbr. Perangkat permainan dua warna
Satu perangkat permainan merupakan suatu bentuk benda yang terdiri
atas 2 warna, dan masing-masing warna disediakan kira-kira 10 biji. Agar
menarik dapat dibuat bermacam-macam bentuk atau warna, misalnya
lingkaran hitam-putih, persegi ungu-pink, bintang merah-kuning, segitiga
+ - + -
+ -
+ + 11
hijau-hijau muda, dan lain sebagainya. Satu warna memiliki bilangan positif
dan warna lainnya mewakili bilangan negatif. Agar mudah bagi anak,
sebaiknya diberi tanda positif dan negatif pada warna yang dikehendaki (lihat
contoh pada gambar). Disarankan anak juga ikut membuat di rumah masing-
masing, dengan bentuk dan warna yang disenanginya.
Jika tidak ingin membuat sendiri, dapat dipakai kancing baju yang
sudah tidak dipakai atau benda-benda lain, yang mencukupi kebutuhan untuk
permainan 2 warna.
b. Cara membuat
Cara membuat perangkat permainan ini sama seperti membuat kartu
gambar pada permainan rumah bilangan, bedanya untuk perangkat permainan
ini tidak ditempel kain flanel. Bahannya dapat dibuat dari karton atau kertas
manila.
Cara menggunakan
a. Penjumlahan bilangan bulat
Misalkan kita akan mencari hasil jumlah 4 + (-6). Mintalah anak
mengambil perangkat permainan dua warna yang disenanginya. Mintalah
mereka membuat kelompok 4 positif dan kelompok 6 negatif, kemudian
menggabungkan kedua kelompok itu menjadi satu seperti kegiatan pada
gambar 79.


12


4 + -6
Anak membuat kelompok 4 positif dan 6 negatif





Anak menggabungkan kedua kelompok menjadi satu. Selanjutnya anak
diminta mengamati dan memasangkan setiap satu positif dengan satu negatif.
Setiap pasangan harganya sama dengan nol (0), karena 1 + (-1) = 0. yang
tidak punya pasangan merupakan hasil jumlahnya. Jadi 4 + (-6) = (-2).





4 + -6 = -2
b. Pengurangan bilangan bulat
Kunci dari kegiatan pengurangan bilangan bulat hampir sama
dengan kunci kegiatan untuk penjumlahan bilangan bulat, yaitu
mengamati dan memasangkan satu-satu anggpta dari kelompok yang satu
-
+ + + +
- - - - - -
+ + + +
- - - - - - + +
- - + + + + - - - 13
(suku pertama) dengan kelompok yang lain (suku kedua), kemudian
setiap pasangan dianggap tidak ada karena harganya nol (0).
Perbedaannya, jika pada kegiatan penjumlahan yang dipasangkan harus
berlainan warnanya karena 1 + (-1) = 0, maka pada kegiatan pengurangan
yang dipasangkan harus sama warnanya karena 1 – 1 = 0 atau (-1) – (-1) =
0.
Misalkan mencari selisih dari 4 – (-6). Mintalah anak mengambil
perangkat permainan yang disukainya, lalu melakukan kegiatan seperti pada
gambar.

4 – (-6)




Anak membuat kelompok 4 positif dan 6 negatif. Selanjutnya anak
akan memasangkan satu-satu, tetapi tidak dapat, karena kelompok yang
dikurangi tidak punya warna yang sama dengan pengurang. Karena itu bentuk
bilangan yang dikurangi (4) harus diubah agar mempunyai warna yang sama
banyaknya dengan pengurang. Setelah ada warna yang sama, dapat dilakukan
pemasangan satu-satu antara kedua kelompok.

+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
- - - - - - 14
Kegiatan pengurangan dilaksanakan dengan pemasangan satu-satu
sebagai berikut




4 – (-6)

10
Setelah dipasangkan, yang tidak punya pasangan merupakan
selisihnya. Jadi 4 – (-6) = 10.
Gbr. Kegiatan pengurangan dua bilangan bulat dengan permainan dua warna.
Guru : Itu tadi uraian penjelasan dari ibu. Bagaimana apakah sudah jelas?
Siswa : Jelas bu.
Guru : Kalau sudah jelas, sekarang ibu beri contoh soal, kalian kerjakan ya?
Nanti kalau ada kesulitan boleh tanya.
Siswa : Ya, bu.
(Siswa mengerjakan soal sedangkan guru sebagai fasilitator,
motivator, dan inovator)

C. Hasil
Setelah melalui beberapa kali bimbingan, beberapa siswa yang dinilai
mempunyai nilai yang kurang dari teman-temannya, mampu memahami materi
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
- - 15
dengan baik dan dapat memperoleh nilai yang memuaskan. Seperti tertera pada
tabel di bawah ini!
Nilai
No Nama
Sebelum bimbingan Sesudah bimbingan
1 Adimas Afif N 50 100
2 Arya Anugrah P 30 90
3 Hena Rizki P 10 90
4 Wanda Yuniarga 50 90
Keterangan:
Siswa dibimbing secara individu dan kelompok sewaktu jam istirahat selama
3 kali pertemuan.











16
BAB IV
PENUTUP

A. Simpulan
Bimbingan belajar di SD sangat diperlukan bagi perkembangan holistik
anak, baik bagi anak yang “berkelebihan” (over pandai) maupun yang
“berkekurangan” (bodoh). Bimbingan belajar yang diberikan adalah bimbingan
belajar untuk siswa yang mempunyai rata-rata di bawah teman-temannya.
Dari bimbingan belajar yang dilakukan oleh penulis, yang juga sebagai
calon guru, dapat disimpulkan bahwa beberapa siswa tersebut bukan termasuk
anak yang bodoh (IQ di bawah rata-rata) hanya saja nilai matematikanya selalu di
bawah rata-rata. Hal ini ada 2 faktor yaitu:
Faktor dari dalam :
▪ Kurangnya minat siswa dalam belajar matematika.
Faktor dari luar :
▪ Kurangnya dukungan dari orang tua dalam memotivasi
untuk belajar,
▪ Kurangnya bimbingan belajar dari guru, terutama dalam
penanaman konsep.
Adapun hasil yang dicapai setelah bimbingan belajar yang dilakukan oleh
penulis adalah minat belajar matematika meningkat dan nilai yang diperoleh di
atas rata-rata kelas.
17
B. Saran
1. Kita sebagai calon guru harus peka terhadap masalah yang terjadi pada siswa.
2. Kita sebagai guru harus bisa memberikan bimbingan belajar bagi siswa yang
bermasalah.
3. Seorang guru dalam mengajarkan materi harus dapat memberikan penanaman
konsep secara benar, tepat, dan mudah dipahami.
4. Kita sebagai calon orang tua maupun orang tua harus memperhatikan
perkembangan anak dan memberikan bimbingan bagi anak.














18
DAFTAR PUSTAKA

Kartadinata, Sunaryo, dkk. 2002. Bimbingan di Sekolah Dasar. Bandung: CV.
Maulana.
Mugiarso, Heru, dkk. 2004. Bimbingan dan Konseling. Semarang: UPT UMK
UNNES.
Hudojo, Herman. 1988. Belajar Mengajar Matematika. Jakarta: Depdikbud.
Pitadjeng. 2005. Pembelajaran Matematika yang Menyenangkan. Semarang:
Depdiknas.